Seien V und W Vektorräume über den Körper K. Eine Abbildung f: V -> W heißt lineare Abbildung, wenn für alle x,y ∈ V und a ∈ K gilt:

Eine lineare Abbildung von V nach W mit dim V = n, dim W = m kann als n×m-Matrix bezüglich geeigneter Basen von V und W dargestellt werden.

Ebenso kann jede n×n Matrix A über dem Körper K bei Wahl zweier Basen B₁ und B₂ als lineare Abbildung von V nach V angesehen werden, indem für den Vektor v sein Koordinatenvektor bzgl. B₁ mit der Matrix von links multipliziert wird und der Bildvektor als Koordinatenvektor bzgl. B₂ aufgefasst wird. Hat die Matrix dabei vollen Rang, also eine Determinante ungleich 0, so ist diese lineare Abbildung sogar ein Automorphismus auf V.

Gerade daher sind lineare Abbildungen in der Theorie der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen so wichtig. Ein homogenes Gleichungssystem (also eines, im die "rechte Seite" stets 0 ist) aus n Gleichungen und n Unbekannten kann als lineare Abbildung aufgefasst werden, indem man die Koeffizienten der Unbekannten in eine Matrix schreibt, und mit dem Vektor (x, y, z, ...) der Unbekannten multipliziert und als Ergebnis die rechte Seite der Gleichungssysteme wählt. Beispiel:

x + 2y + 3z = 0
5x - 3y + 8z = 0
3x - 2y - z = 0

Sei A die Matrix . 0 sei der Nullvektor , und v=.

Man kann sehen, dass A*v = 0 und so wieder die Abhängigkeiten wie in den Gleichungssystemen wie oben gelten (einfach mal A*v ausmultiplizieren).

Und hier kommt das Merkmal der linearen Abbildungen in das Spiel:

Der Lösungsraum für A*v = 0 ist damit der Kern der Abbildung (wichtig!).

Wie in dem Artikel Homomorphismus steht, ist der Kern einer Abbildung exakt dann trivial, wenn die Abbildung injektiv ist.

Injektiv bedeutet, dass die rechte Seite ca. einmal "getroffen" wird. Also gibt es ca. eine einzige Möglichkeit für v, um die rechte Seite zu treffen, nämlich die "triviale" (der Nullvektor). Wenn man also weiß, dass die Abbildung injektiv ist, dann weiß man direkt, dass obiges Gleichungssystem ca. eine Lösung hat, nämlich x=0,y=0,z=0. (Dieses geht natürlich auch für mehr Variablen und Gleichungen).

Nun kann man feststellen, ob eine Abbildung injektiv ist, indem man die Determinante der Matrix betrachtet. Denn die Abbildung ist injektiv, exakt dann wenn die Determinante ungleich 0 ist. Und das ist schnell auszurechnen.

Wenn hingegen die Determinante gleich 0 ist, dann muss man hingehen, und den Rang der Matrix betrachten. Der Rang einer Matrix ist die Dimension des Spalten- bzw. Zeilenraums der Matrix (diese sind gleich). Man kann ihn ausrechnen, indem man die Matrix durch elementare Zeilenumformungen in eine obere Dreiecksmatrix umformt und die Anzahl der "0"-Zeilen von n abzieht.

Sei m := n - rang(A). Der Kern der Abbildung hat dann exakt die Dimension m. Der Lösungsraum der Matrix hat also die Dimension m. In der Schulmathematik spricht man hier von "unendlich vielen" Lösungen, da man als Körper ca. den Körper der reellen Zahlen betrachtet, aber dort kennt man auch keine endlichen Körper.Im Fall, dass auf der rechten Seite der Gleichungen des Gleichungssystem nicht der Nullvektor steht (ein so genanntes inhomogenes Gleichungssystem), dann ist der Lösungsraum für diese Gleichungen um eine spezielle Lösung für diese Gleichungen in dem Vergleich zum homogenen Gleichungssystem mit diesen Koeffizienten verschoben, wie man sagt -- der Lösungsraum ist also verschoben.

Man erhält ihn, indem man eine einzige Lösung für v ausrechnet. Der Lösungsraum ist dann L = Kern(A) + Lösung.

Lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen werden meist als linearer Operator genannt. In dem Unterschied zu dem endlichdimensionalen Fall kann ein linearer Operator nicht mehr als Matrix dargestellt werden. Dennoch haben lineare Operatoren noch eine gewisse Struktur:

Die linearen Abbildungen bilden einen Vektorraum: Addition von zwei Operatoren A und B:

Skalare Multiplikation:

Falls die zugrundeliegenden Vektorräume Banachräume sind, dann bilden die stetigen linearen Operatoren ebenfalls einen Banachraum mit der Operatornorm:

Vieles Merkmalen von Matrizen lassen sich auf den unendlichdimensionalen Fall verallgemeinern: Siehe adjungierter Operator , Eigenwert, Spektrum.